المتتاليات من تقديم الاستاذ عبد الله بالرقي

سلسلة العمل الذاتي لمادة الرياضيات رقم (01)
المستوى:3ثانوي علوم تجريبية
الأستاذ :عبدالله بالرقي
المتتاليات العددية
1)المتتالية الحسابية
التمرين(1):(un)متتالية حسابية حيث: u0+u3=18 وu2+u5=34
1)أوجد الحد الأول u0 والأساس r لهذه المتتالية .
2)أكتب الحد العام un بدلالة n .
3)احسب المجموع :sn=u0+u1+………..+un بدلالة n .
4)أوجد العدد الطبيعي n بحيث :sn=78 .

التمرين (2):1)الأعداد a,b,c بهذا الترتيب حدود متتابعة لمتتالية حسابية .عين هذه الأعداد علما أن :a+b+c=3 وa.b.c=-15 .
2)(un) متتالية حسابية حيث :u3+u5=26 وu7-u4=12 .عين الحد الأول u0 والأساس r لهذه المتتالية .
3)بفرض u0=-3 وr =4
-أكتب عبارة الحد العام un لهذه المتتالية بدلالة n .
- عين الحد ذو الرتبة 201من هذه المتتالية .
- هل العددان2005 ،2007 حدان من هذه المتتالية ؟ .
- أحسب مجموع ال :100 حدا الأولى من حدودها .
التمرين (3):(un) متتالية حسابية حدها الأول u1 .
1-احسب حدها الثاني u2 علما أن :u1+u3=12 .
2- أحسب حدها الرابع u4 علما أن :u3+u4+u5=30 .
3- عين الأساس r لهذه المتتالية و حدها الأول .
4- أكتب un بدلالة n ثم عين n علما أن :un=32 .
5- احسب المجموع :s =u1+u2+……..+u15 .

التمرين (4) :a,b,c ثلاث حدود متعاقبة من متتالية حسابية متزايدة حيث :
a+b+c =9 و a.b.c =15 .
1)عين a,b,c ثم أستنتج الأساس r لهذه المتتالية .
2) احسب مجموع العشرين حدودا الأولى من هذه المتتالية علما أن حدها الأول هو :19 . صفحة : 1 بالرقي
التمرين (5) :1) اوجد خمسة أعداد تشكل حدود متتابعة من متتالية حسابية بحيث مجموعها يساوي 15 ومجموع مربعاتها يساوي 65 .
2)a,b,c أعداد طبيعية تشكل حدود متتابعة لمتتالية حسابية .
- بين أن :22a+22b+1+22c مربع تام .
3)عين متتالية حسابية بمعرفة أن مجموع n حدا الأولى هو (3n2+4n) .
4)لتكن المعادلة :x4-(3m+4)x2+m2 =0 عين m حتى تكون الحلول الأربعة لهذه المعادلة حدود متعاقبة لمتتالية حسابية .
5)متتالية حسابية تشمل 21 حدا .ليكن s1 مجموع 11 حدا الأولى ، وليكن s2 مجموع 11 حدا الأخيرة .
- احسب الحد المتساوي البعد عن الطرفين بدلالة s1 و s2 .
- إذا كان :s1 =187 و s2 =517 فأوجد حدود المتتالية .
ملاحظة : الأجزاء مستقلة عن بعضها البعض .

التمرين (6) :1)إذا كانت الأعداد : , , تشكل حدود متتابعة من متتالية حسابية فأثبت أن c2,b2,d2 : تشكل أيضا حدود متعاقبة من متتالية حسابية.
2)لتكن المتتالية الحسابية للأعداد :-10,-7,-4,………. نريد حساب (25) حدا من حدودها ليكون مجموعها 1400 . ما هي رتبة الحد الذي نبدأ به ؟ و ما قيمته؟.
3) طريق مستقيم طوله 166 ميلا .بدا شخصان الحركة معا من نهايتيه فإذا قطع أحدهما في اليوم الأول مسافة 10أميال ثم قطع في كل يوم من الأيام التالية مسافة تزيد ميلا واحد عن مسافة اليوم السابق . أما الأخر فقطع في اليوم الأول مسافة 9أميال ثم قطع في كل يوم من الأيام التالية مسافة تنقص نصف ميل عن مسافة اليوم السابق .فأوجد بعد كم يوم يتقبلان .
4) – إذا كان رسم الدخول إلى معرض في يومه الأول 45 د ج ثم ينقص بمقدار 1,5 د ج في كل يوم من الأيام التالية ، فأوجد رسم الدخول في اليوم 15 .
- إذا أراد رجلا أن يدخل المعرض يوميا في أسبوعه الثالث فأوجد ما يوفره إذا أشترى تذكرة أسبوعية بمبلغ 100 د ج .
5)أيهما أكبر =2008(1+2+3+……+2007)، y =2007(1+2+3+…+2008)
6)(d) مستقيم معادلته y = ax+b حيث a في مستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس .يرمز un حيث n عدد طبيعي للمساحة المحددة بمحور الفواصل و المستقيم (d) والمستقيمين اللذين معادلتيهما = n و x = n+1
أثبت أن (un) هي متتالية حسابية .
صفحة : 2 بالرقي
2) المتتالية الهندسية
التمرين (1) : (un) متتالية هندسية كل حدودها موجبة . حدها الأول =u1 وu3.u5 =16 . – احسب u4 ثم استنتج الأساس r لهذه المتتالية .
- اكتب عبارة الحد العام un لهذه المتتالية بدلالة n .
- عين العدد الطبيعي n حتى يكون : un =22005 .
- احسب المجموع : sn =u1+u2+……+un بدلالة n .

التمرين (2) :1- بين أنه إذا كانت a,b,c ثلاثة أعداد حقيقية تشكل حدود متتابعة من متتالية هندسية فإن : a2+b2+c2 = (a+b+c)(a-b+c)
2- أوجد ثلاثة حدود متعاقبة لمتتالية هندسية علما أن مجموعها 78 و مجموع مربعاتها 3276 .

التمرين (3) :نعتبر متتالية هندسية متناقصة (un) بحيث :u1.u2.u3= 64 وu12+u22+u32 =84 .
- احسب الحد u2 ثم الحد الأول u1 و u3 و أساس المتتالية r .
- برهن أن الحد العام : un =24-n .
- احسب المجموع : sn =u1+u2+…….+un بدلالة n .
- احسب بدلالة n الجداء : π n =u1.u2……un .
التمرين (4) :1)أوجد الحدود الخمسة لمتتالية هندسية علما أن مجموع الحد الأول والأخير يساوي ومجموع حدودها يساوي 11 .
2) a,b,c أعداد حقيقية إذا أخذت بالترتيب : a,b,c تشكل حدود متتابعة لمتتالية حسابية ،و إذا أخذت بالترتيب b,c,a تشكل حدود متتابعة لمتتالية هندسية . أوجد a,b,c علما أن :a+b+c = 18 .
3) نفس التمرين لكن في هذه الحالة :a.b.c =125 .
4)أوجد الحدود الخمسة لمتتالية هندسية علما أن مجموع الثلاثة الأولى يساوي 30 و مجموع الثلاثة الأخيرة يساوي 120 .
5) )أوجد الحدود الخمسة لمتتالية هندسية بحيث :u1.u5 =25 و u2+u3+u4 = و 0<u3 .
6) أوجد x بحيث :1+x,7+x,25+x حدود متعاقبة من متتالية هندسية .
صفحة :3 بالرقي


التمرين (5) : 1) أوجد الحدود الحقيقية :u0,u1,u2,u3,u4 الموجبة تماما لمتتالية هندسية بحيث : u0+u4 =وu1+u3=20 .
2)المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (O,I,J) ،(Δ) ، (D) مستقيمان متقاطعان في النقطة O ، ( Δ,D)= A1 نقطة من (Δ) تختلف عن O .B1 المسقط العمودي للنقطة A1 على (D)
A2 المسقط العمودي للنقطة B1 على (Δ) .B2 المسقط العمودي ل A2 على (D) ،A3المسقط العمودي للنقطة B2 على (Δ) و هكذا.....
نضع :u1 =OA1 وu2 =OA2 ،...........،un =OAn .
1- بين أن :u1,u2,u3,…….,un حدود متعاقبة من متتالية هندسية يطلب تحديد أساسها .
2- عين العدد الطبيعي n علما أن OA1=24 و =OAn .
التمرين (6) : عبدالله خريج جامعة قبل طلبه للتوظيف من قبل مؤسسة خاصة التي اقترحت عليه مرتب شهري قدره D A 12000 للشهر الأول وزيادة في المرتب الشهري تقدر ب٪ 10.
نسمي u1 المرتب الشهري خلال السنة الأولى و نرمز ب un للمرتب الشهري خلال السنة n (1 n ) .
1-احسب u2,u3 .
2-اكتب un+1 بدلالة un .
3-بعد 30 سنة ما مجموع الأجور التي يكون عبدالله قد تقضاها؟ يطلب التعليل .
التمرين (7) :1)a,b,c ثلاثة أعداد طبيعية تشكل حدود متتابعة من متتالية هندسية ،أثبت أن :a2+2b2+c2 مربع تام .
2)(un) متتالية عددية معرفة بحدها الأول الموجب تماما u0 و مهما كان العدد الطبيعي n فإن :un+1-un=0.05un .
- أثبت أن (un) متتالية هندسية .احسب un بدلالة u0,n .
- نضع sn= u0+u1+u2+…….+un-1 مجموع n حدا الأولى .احسب sn بدلالة u0 و n . –عين n حتى يكون :20u0 sn .
- بلغ عدد سكان بلد20 مليون نسمة يوم 01/01/1987 نفرض أن عدد سكان هذا البلد يرتفع كل سنة بنسبة ٪ 5 ما هو عدد سكان هذا البلد يوم 01/01 /1990 ؟.
ابتداء من أية سنة سيتجاوز عدد سكان هذا البلد 30 مليون نسمة ؟.
صفحة : 4 بالرقي

)المتتاليات التراجعية :
3-1المتتالياتالتراجعية من الشكل :un+1=a un+b
التمرين(1):لتكن المتوالية العددية (un) ذات الحد الأول u1=1 و حيث :un+1=2un+3 وذلك من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم . نضع :vn=un+3 من أجل n عدد طبيعي غير معدوم .
1-أثبت أن (vn) متتالية هندسية يطلب تعيين أساسها .
- أحسب vn بدلالة n ثم أحسب un بدلالة n .
2-أحسب بدلالة n المجموع :sn=v1+v2+…….+vn ثم أستنتج أن المجموع : u1+u2+……..+un=4(2n-1)-3n .
3-أحسب بدلالة n الجداء n = v 1.v 2 …………v nπ .
التمرين (2) : نعرف متتالية عددية (un) ب :u0=24 و un+16 =un+1
1-احسب :u1, u2 ,u3 .
2-لتكن (vn) المتتالية العددية المعرفة ب: vn=un+α حيث α عدد حقيقي .
-عين α بحيث تكون : (vn) متتالية هندسية .
3-نفرض أن =-20α . –احسب بدلالة n الحد vn ثم أستنتج un بدلالة n .
-احسب المجموعين :s1=v0+v1+….+vn-1, s2=u0+u1+…..un-1 بدلالة n .

التمرين (3) :نعتبر المتتالية (un) المعرفة ب :u0=1 و un+2 =un+1 لكل عدد طبيعي . و لتكن المتتالية (vn) المعرفة ب:vn=a un-6 حيث a عدد حقيقي غير معدوم .
1-عين a لكي تكون (vn) متتالية هندسية و أوجد أساسها وحدها الأول .
2-احسب vn ثم un بدلالة n .
3-احسب المجموعين :s1=v0+v1+…+vn ثم s2=u0+u1+…..+un بدلالة n .
4-احسب المجموع :v02+v12+….+vn2=s بدلالة n .
التمرين (4) :nعدد طبيعي .(un) متتالية عددية :u0=2 وun-2un+1=2n+3 .
1-بين أنه يوجد عدد طبيعي b مستقل عن n بحيث :vn=un+bn-1 حد عام لمتتالية هندسية .عين حدها الأول v0 و أساسها r .و أستنتج أن :un=2-n-2n+1 .
2-نضع : =sn .احسبه بدلالة n . ثم احسب =sn­بدلالة n .
صفحة : 5 بالرقي


التمرين (5) : (un) متتالية عددية معرفة كما يلي :u0=2 وun=αun-1+β حيث n عدد طبيعي غير معدوم و1> وβ عدد حقيقي .(vn) المتتالية العددية المعرفة ب: +un =vn . –أثبت أن (vn) متتالية هندسية أساسها α ثم أستنتج عبارة un بدلالة α ،β ،n .
- نفرض أن=3 β -عين α علما أن : lim un=5
-احسب المجموع :sn= u0+u1+…..un بدلالة n .

التمرين (6) :نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة كما يلي : u0=-2 ولكل عدد طبيعي n :un+1=α un+β حيث α ،β عددان حقيقيان مفروضان مع α يختلف عن 0 و 1 .
-جد علاقة تربط α و β حتى تكون (un) متتالية ثابتة .
-نفرض أن (un) ليست ثابتة ،و نعتبر المتتالية (vn) المعرفة ب:vn=un+γ حيث γ ثابت حقيقي غير معدوم .
1-عينγبدلالة α ،β لكي تكون :(vn) هندسية .
2-نضع=3 α و2=β و1= γ . احسب بدلالة n المجموعين :
S1=v0+v1+….vn , s2= u0+u1+…..un .

التمرين (7) :(un) متتالية عددية معرفة ب:u1=1 ولكل عدد طبيعي غير معدوم n نضع +un =un+1 .
1-برهن أنه لكل عدد طبيعي غير معدوم n :un≤3 .
2-أدرس اتجاه تغير (un) .
3-أستنتج أن المتتالية (un) متقاربة و احسب نهايتها .
4-نعتبر المتتالية (vn) المعرفة ب:vn=n(3-un)
-أثبت أن (vn) هندسية .يطلب تعيين حدها الأول و أساسها .
- أكتب vn ثم un بدلالة n ثم حدد lim un ثانية .

التمرين ( :(un) متتالية عددية معرفة ب: u1 = و لكل عدد طبيعيn :un =un+1 . 1-أثبت أن المتتالية (vn) التي حدها العام: =vn هي متتالية هندسية لكل عدد طبيعي غير معدوم .يطلب تحديد أساسها و حدها الأول.
2-أكتب بدلالة n كل من vn و un . صفحة :6 بالرقي
3-2المتتاليات التراجعية من الشكل : un+2=a un+1+b un+1+c
التمرين (1):نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة ب2 u0=1,u1= و لكل عدد طبيعي n :un -un+1 =un+2 .ولتكن المتتالية المعرفة ب:vn=un+1-un
1-برهن أن (vn) هندسية .احسب الحد العام vn بدلالة n .
2-أستنتج الحد العام للمتتالية (un) .ماهي نهاية المتتالية(un)؟ .
3-أوجد أصغر عدد طبيعي n0 بحيث من أجل كل عدد طبيعي n :n≥n0 يكون :
Un-3│<10-5│.

التمرين(2):(un) متتالية عددية معرفة ب:u0=1,u1=3 ولكل عدد طبيعي n :
a 2un+1+(a-3)un un+2 = حيث a عدد حقيقي .و لتكن المتتالية (vn) المعرفة ب:vn=un+1-un .
1-نأخذ a=2 حقق أن (vn) ثابتة .و أستنتج طبيعة (un) حدد أساسها و حدها الأول .عبر عن un و =sn بدلالة n .أستنتج مجموع الأعداد الطبيعية الفردية الأصغر من100 .
2-نأخذ a= - 4 حقق أن (vn) هندسية و عبر عنvn بدلالة n .أحسب =s بدلالة n ،وضح أن (un) تقاربية [بين أولا أن :un+1=s+1 ] .
3-بين أن 4-هي القيمة الوحيدة للعدد a التي تجعل (vn) هندسية ليست ثابتة .

3-3المتتاليات التراجعية من الشكل: =un+1
التمرين(1) :نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة كما يلي :u0=4 و لكل عدد طبيعي غير معدوم : =un+1 .
1-بين أنه لكل عدد طبيعيn :7 un .
لتكن (vn) المتتالية العددية : =vn .
2-بين أن (vn) متتالية حسابية .احسب كلا من vn ثم un بدلالة n .
-أوجد قيمة n حتى يكون : =un .

صفحة :7 بالرقي

التمرين (2) :(un) متتالية عددية معرفة ب: =u0 و =un+1 .
1-برهن بالتراجع أنه لكل عدد طبيعي n :1 un .
2-نعتبر المتتالية (vn) المعرفة ب: =vn .وضح أن :(vn) هندسية .احسب أساسها و حدها الأول v0 ،ثم عبر عن vn بدلالة n .هل (vn) متقاربة؟ .
3-أحسب un بدلالة n .هل (un) متقاربة ؟.

3-4المتتاليات التراجعية من الشكل :un+1=f(un,vn) , vn+1=g(un,vn)
التمرين (1) :نعرف متتاليتين عدديتين (un) ,(vn) ب:u1=1 ,v1=12 و لكل عدد طبيعي غير معدوم n : =un+1 و =vn+1 .
1-نضع لكلN n :Wn=vn-un .برهن أن (Wn) متتالية هندسية .عبر عن Wn بدلالة n .أستنتج lim Wn .
2-برهن أن (un) متزايدة و (vn) متناقصة .ماذا تستخلص بالنسبة للمتتاليتين مع الاستعانة ب:1- ؟.
3-نضع من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم : tn=3un+8vn .برهن أن (tn)متتالية ثابتة .أستنتج نهاية كل من(un) ,(vn) .

متتاليات تراجعية أخرى :
التمرين :(un) متتالية عددية معرفة ب:u0=1 ولكلN n :u2n =u2n+1 وu2n+2=1+u2n+1 .
ا)أحسب u1,u2,u3,u4 .
ب)نعتبر المتتاليتين العدديتين (Xn) ,(Zn) المعرفتين كما يلي : Xn=2-u2n Zn=1-u2n+1 .
1-بين أن (Xn) ,(Zn) هندسيتين يطلب تحديد الأساس و الحد الأول لكل منهما .
2-أكتب Xn , Zn بدلالة n .ثم أستنتج عبارتي u2n ,u2n+1 بدلالة n .
3-هل (un) متقاربة ؟لماذا ؟.
4-احسب بدلالة n المجموع :S=u0+u1+u2+u3+……+u2n+u2n+1 .




صفحة : 8 بالرقي

اين اجد حلول التمارين يااستاذ ارررررررررررررججججججججججججججوك

ارجوك استاذ اريد حل هذا التمارين a b c ثلاث اعداد طبيعية تشكل حدود متتابعة لمتتالية هندسية اثبت ان a²+2b² +c²مربع تام

thank you for this lesson

choukrannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn