bendella sidi mohamed
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 |  موضوع: Leçons d’Algèbre et de Géométrie  السبت نوفمبر 27, 2010 6:55 pm | |
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101 Parties génératrices d’un groupe. Exemples
1. Sous-groupe engendré par une partie non vide S
1.1. Définition : sous-groupe < S > engendré par une partie non vide S
1.2. Définition : partie génératrice
1.3. Théorème : autres caractérisations de < S >
1.4. Cas particulier : groupe engendré par un seul élément
2. Exemples
2.1. Groupes monogènes
2.1.1. Définition : groupes monogènes
2.1.2. Définition : groupes cycliques
2.1.3. Théorème : structure des groupes monogènes
2.1.4. Théorème : générateurs des groupes monogènes
2.2. Groupes symétriques (engendrés par les cycles à supports disjoints)
2.2.1. Théorème : Sn est engendré par les transpositions
2.2.2. Théorème : le groupe alterné An est engendré par les 3-cycles
2.3. Groupes diédraux (engendrés par une symétrie et une rotation)
2.4. Groupe orthogonal (engendré par les réflexions)
2.5. Groupe linéaire (engendré par les matrices d'opérations élémentaires) |
104 Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications
1. Définition d'une opération d'un groupe G sur un ensemble X
1.1. Définition à l'aide d'un morphisme de G dans Bij(X)
1.1. Bis. Définition à l'aide d'une application de G ´ X dans X
1.2. Exemples
1.3. Remarque : g1 . x = g2 . x n'entraîne pas g1 = g2 en général.
2. Orbites et stabilisateurs
2.1. Définition de l'orbite d'un élément x de X et de l'application d'orbite
2.2. Exemples
2.3. Conséquence : l'ensemble des orbites de X constitue une partition de X
2.4. Définition d'une action transitive
2.5. Théorème : G opère transitivement sur X ssi les applications d'orbites sont surjectives
2.6. Définition : action libre (lorsque les applications d'orbites sont injectives)
2.7. Conséquence : si opère librement sur X alors : g1 . x = g2 . x => g1 = g2
2.8. Définition : action simplement transitive (= libre et transitive)
2.9. Exemples
2.10. Définition : stabilisateur Sx d'un élément x de X
2.11. Remarque : Sx est un sous-groupe de G
2.12. Exemples et cas particuliers
2.13. Proposition : deux éléments de la même orbite ont des stabilisateurs conjugués dans G.
3. Groupe opérant sur lui même
3.1. G opère sur lui-même par translation à gauche
3.2. G opère sur lui-même par translation à droite
3.3. G opère sur lui-même par conjugaison
3.4. Théorème de Cayley : tout groupe fini est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique
4. Formule des classes (X fini)
4.1. Factorisation de l'application d'orbite
4.2. Formule des classes
4.2.a. Cas où G opère sur lui-même par conjugaison
4.2.b. Cas où G est un p-groupe
Applications :
le centre d'un p-groupe est non trivial
tous les groupes d'ordre p2 sont abéliens |
105 Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications
Rappels
1. Orbites et cycles
1.1. Définition des orbites
1.2. Remarques sur les orbites
1.3. Définition d'un cycle, de sa longueur, de son support
1.4. Remarques sur les cycles
1.5. Remarques sur le support
1.6. Proposition : commutativité de deux cycles à supports disjoints
1.7. Proposition : décomposition d'une permutation en produit de cycles
1.8. Corollaire : les transpositions engendrent le groupe symétrique
2. Signature d'une permutation. Groupe alterné
2.1. Définition : signature d'une permutation
2.2. Remarques sur la signature
2.3. Théorème : la signature est un morphisme surjectif de groupes
2.4. Théorème : autre caractérisation de la signature
2.5. Définition : le groupe alterné
2.6. Théorème : le groupe alterné est engendré par les 3-cycles
2.7. Théorème : pour n ≥ 5, le groupe alterné est simple (non démontré)
3. Applications
3.1. Théorème de Cayley
3.2. Applications multilinéaires alternées
3.3. Déterminants |
108 PGCD, PPCM dans Z, théorème de Bézout. Applications
Prérequis
1. PGCD, PPCM dans Z
1.1. PPCM dans Z
1.1.1. Proposition : il existe un unique entier n tel que aZ ∩ bZ = nZ
1.1.2. Proposition : cet entier n est un multiple commun de a et b et c'est le plus petit
1.1.3. Propriétés du ppcm
1.2. PGCD dans Z
1.2.1. Proposition : il existe un unique entier d tel que aZ + bZ = dZ
1.2.2. Proposition : cet entier d est un diviseur commun de a et b et c'est le plus grand
1.2.3. Définition : égalité de Bézout
1.2.4. Propriétés du pgcd
1.2.5. Corollaire : si d = pgcd(a, b) alors pgcd(a', b') = 1 où a = a'd et b = b'd
1.3. Algorithme d'Euclide
1.3.1. Propriété : pgcd(a, b) = pgcd(b, r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b
1.3.2. Conséquence : principe l'algorithme d'Euclide
2. Théorème de Bézout et quelques conséquences
2.1. Définition : entiers premiers entre eux.
2.2. Théorème de Bézout
2.3. Détermination d'une égalité de Bézout : algorithme d'Euclide-Bézout
2.4. Théorèmes de Gauss (et variantes)
2.5. Liens PPCM et PGCD
3. Applications
3.1. Étude de deux suites d'entiers premiers entre eux
3.2. Racines de l'unité
3.3. Éléments inversibles de Z/nZ
3.4. Équation Diophantienne ax + by = c
3.5. Théorème Chinois et applications
3.5.1. Théorème Chinois
3.5.2. Application 1 : systèmes de congruences. Exemple : le régiment rangé en colonnes.
3.5.3. Application 2 : l'indicatrice d'Euler j est multiplicative
3.6. Équation du premier degré dans Z/nZ
3.7. Exemples d'équations du second degré dans Z/nZ |
110 Base de numération d’entiers. Applications
1. Base de numération
2. Applications : critères de divisibilité en base a, exemple monétaire, jeu de Nim. |
115 Dimension d’un e.v. admettant une partie génératrice finie. Rang d’une application linéaire
Notations
1. Base et dimension
1.1. Définition d'un espace vectoriel de dimension finie
1.2. Théorème : existence d'une base
1.3. Corollaire : de toute famille génératrice, on peut extraire une base
1.4. Corollaire : toute famille libre peut être complétée en une base
1.5. Lemme d'échange de Steinitz
1.6. Théorème : une famille libre contient moins d'éléments qu'une famille génératrice
1.7. Corollaire : toutes les bases ont le même nombre d'éléments
1.8. Définition : dimension d'un espace vectoriel de dimension finie
2. Théorème classiques en dimension finie
2.1. Théorème : critères pour qu'une famille soit une base
2.2. Théorème : existence d'un supplémentaire
2.3. Théorème : deux sous espaces vectoriels sont isomorphes ssi ils ont la même dimension
2.4. Théorème : dimension d'un produit, d'une somme
2.5. Théorème : G opère transitivement sur X ssi les applications d'orbites sont surjectives
3. Rang d'une application linéaire
3.1. Définition du rang
3.2. Théorème du rang
3.3. Corollaire : CNS pour qu'une application linaire soit injective, surjective
3.4. Application du théorème du rang : formule de Grassmann
3.5. Théorème : rang d'une composée
3.6. Théorème : critères d'isomorphismes |
116 Sommes et sommes directes. Applications
Exercice d'introduction
1. Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels
1.1. Somme ordinaire
1.2. Lien ente la somme et l'union
1.3. Somme directe
1.4. Différentes caractérisations d'une somme directe
1.5. Exemple : les sous-espaces propres
2. Sous-espaces supplémentaires
2.1. Vers la notion de supplémentaire
2.2. Supplémentaire
2.3. Exemples
2.4. Projecteur associé à une décomposition
2.5. Hyperplan
2.6. Caractérisation d'un hyperplan
3. Cas de la dimension finie
3.1. Existence et dimension d'un supplémentaire
3.2. Dimension d'une somme directe
3.3. Relation de Grassmann
3.4. Applications
3.4.1. Théorème du rang
3.4.2. CNS de diagonalisation d'un endomorphisme
3.4.3. Supplémentaire orthogonal
4. Théorème des noyaux
4.1. Théorème des noyaux
4.2. Application : décomposition en sous-espaces caractéristiques |
138 Orientation. Produit mixte. Produit vectoriel. Applications
1. Orientation. Produit mixte
1.1. Orientation d'un e.v.e.
1.2. Invariance du déterminant par changement de base orthonormée directe
1.3. Définition du produit mixte
1.4. Propriétés du produit mixte
2. Produit vectoriel
2.1. Théorème de (Riesz-Fischer)
2.2. Définition du produit vectoriel
2.3. Expression analytique du produit vectoriel
2.4. Propriétés du produit vectoriel
2.5. Formule du double produit vectoriel
2.6. Identité de Lagrange
2.7. Norme du produit vectoriel
2.8. Direction et sens du produit vectoriel
2.9. Exercice
3. Applications
3.1. Interprétation géométrique du produit mixte et du produit vectoriel
3.2. Distance d'un point à une droite, d'un point à un plan
3.3. Calcul de l'angle d'une rotation
3.4. Corps des quaternions
3.5. Division vectorielle |
Leçons d’Analyse et de Probabilités |
201 Suites de nombres réels
1. Convergence. Divergence. Généralités
1.1. Définition
1.2. Propriété : unicité de la limite
1.3. Définition : suites de Cauchy
1.4. Propriété : (un) converge Þ (un) de Cauchy Þ (un) bornée.
1.5. Opérations algébriques sur les suites convergentes
1.6. Opérations algébriques sur les suites divergentes vers +∞
1.7. Théorème : suites et applications continues.
1.8. Cas des suites récurrentes
1.9. Théorème de Cesaro
2. Quelques théorèmes de comparaison et d'encadrement
2.1. et 2.2. Théorèmes de compatibilité avec l'ordre
2.3. Cas des suites divergentes vers +∞ ou -∞.
2.4. Théorème des "gendarmes".
2.5. Théorème de la limite monotone
2.5.1. Application : constante d'Euler
2.5.2. Une suite monotone est soit convergente soit divergente (vers +∞ ou -∞)
2.6. Suites adjacentes
2.6.1. Application 1 : nombre e
2.6.2. Application 2 : moyenne arithmético-géométrique
2.7. Théorème des segments emboîtés
3. Suites extraites. Valeur d'adhérence. Théorème de Bolzano-Weierstrass
3.1. Définition : suite extraite et valeur d'adhérence
3.2. Théorème : lien entre la limite d'une suite et celle de ses extraites.
3.3. Propriété : suite extraite des termes pairs et suite extraite des termes impairs
3.4. Théorème de Bolzano-Weierstrass
3.4.1. R est complet
3.4.2. Théorème de Heine
3.4.3. Théorème : une suite bornée n'admettant qu'une seule valeur d'adhérence converge
4. Quelques applications
4.1. Théorème : fonction continue sur un segment
4.2. Théorème spécial à certaines séries alternées |
202 Etude de suites numériques définies par différents types de récurrence
1. Suites du type un+1 = f(un)
1.1. Limite éventuelle
1.2. Monotonie de la suite (un)
1.2.1. Théorème : lien entre la croissance de f et la monotonie de (un)
1.2.2. Théorème : lien entre le signe de f - Id et la monotonie de (un). Exemple : suites de Héron
1.2.3. Théorème : lien entre la décroissance de f et la monotonie de (u2n) et (u2n+1)
1.3. Convergence de (un) : théorème du point fixe
1.4. Stabilité d’un point fixe
1.4.1. Définition : point fixe attractif, point fixe répulsif
1.4.2 Théorème : critère de stabilité d’un point fixe
1.5. Résumé : plan d’étude d’une suite du type un+1 = f(un)
2. Autres types de récurrences
2.1. Suites récurrentes linéaires d’ordre k à coefficients constants
2.2. Suites simultanément récurrentes
2.2.1. Cas linéaires
2.2.2. Cas non linéaires.
2.3. Suites récurrentes définies implicitement.
3. Annexe : étude générale des suites homographiques |
206 Séries à termes réels positifs
Rappels
Condition nécessaire mais non suffisante de convergence
Séries géométriques
Série harmonique
Série de terme général 1/n²
1. Comparaison de séries à termes positifs
1.1. Test de comparaison.
1.2. Test de comparaison logarithmique.
2. Comparaison séries-intégrales
2.1. Critère intégral de Cauchy.
2.2. Conséquence 1 : convergence de la différence entre la série et l'intégrale.
2.3. Conséquence 2 : étude des séries de Riemann.
3. Critères usuels de convergence
3.1. Lemme. Critère de l'équivalent.
3.2. Critère de Riemann.
3.3. Règle de D'Alembert.
3.4. Règle de Cauchy.
3.5. Comparaison entre la règle de D'Alembert et la règle de Cauchy.
3.6. Règle de Raabe-Duhamel. |
208 Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes
1. Normes sur un espace vectoriel E
1.1. Définition d'une norme.
1.2. Normes usuelles
1.3. Définition des normes équivalentes.
2. Cas de la dimension finie
2.1. Théorème d'équivalence des normes
2.2. Conséquences : continuité des applications linéaires, caractérisation des compacts
2.3. Théorème de Riesz. E est de dimension finie ssi la boule fermée unité est compacte |
212 Parties connexes de R. Fonctions continues sur une telle partie
1. Notion de connexité dans un espace topologique
1.1. Définition
1.2. Exemples
1.3. Proposition : caractérisation pratique de la connexité à l'aide d'ouverts disjoints
1.4. Remarque : caractérisation pratique de la connexité à l'aide de fermés disjoints
1.5. Exercice : une union de connexes d'intersection non vide est connexe
1.6. Proposition : si A est connexe et B est intercalé entre A et Adh(A) alors B est connexe
2. Connexité et continuité
2.1. Théorème : X est connexe ssi toute application continue de X dans {0 ; 1} est constante
2.2. Théorème : image d'un connexe par une application continue
3. Connexes de R
3.1. Théorème : les connexes de R sont les intervalles
3.2. Conséquence : image d'un intervalle par une application continue
3.3. Contre-exemple : fonction non continue transformant tout connexe en connexe
3.4. Théorème : condition suffisante pour qu'une application monotone soit continue
3.5. Théorème des valeurs intermédiaires
4. Applications
4.1. Théorème du point fixe (pour une application continue de [a, b] dans [a, b]
4.2. Théorème de Darboux
4.3. Corollaire : une fonction dérivable et convexe sur un intervalle I est de classe C1.
4.4. Continuité de l’application réciproque (application de 3.4.) |
226 Continuité, continuité uniforme de fonctions numériques définies sur un intervalle. Applications
1. Continuité
1.1. Définition de la continuité en un point
1.2. Caractérisation de la continuité par les suites
1.3. Définition de la continuité sur un intervalle
1.4. Théorème des valeurs intermédiaires
1.5. Corollaire : image d'un intervalle par une application continue
2. Continuité uniforme
2.1. Définition de la continuité uniforme sur un intervalle
2.2. Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues
2.3. CNS pour qu'une fonction dérivable soit lipschitzienne
2.4. Théorème de Heine
3. Applications
3.1. Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes
3.2. Théorème du point fixe
3.3. Sommes de Riemann
3.4. Approximation d'une fonction continue sur un segment par des fonctions en escalier
4. Annexe : étude de quelques fonctions usuelles |
227 Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications
1. Définition de la convexité
1.1. Définition
1.2. Théorème : inégalité de Jensen
2. Différentes caractérisations de la convexité
2.1. Caractérisation 1 avec des pentes
2.2. Caractérisation 2 avec des pentes (variante)
2.3. Conséquence : une fonction convexe sur un intervalle I est continue à l'intérieur de I
2.4. Caractérisation 3 pour les fonctions dérivables
2.5. Caractérisation 4 : les cordes sont au dessus des tangentes
2.6. Caractérisation 5 pour les fonctions deux fois dérivables
3. Quelques propriétés des fonctions convexes
3.1. Une fonction convexe et positive admettant deux zéros est nulle entre ces deux zéros
3.2. Une fonction convexe et majorée sur R est constante
3.3. Une fonction convexe, croissante et non constante sur R admet une limite infinie en +¥
4. Applications
Moyennes arithmétiques et géométriques
Inégalité d'Hölder
Inégalité de Minkowski
5. Annexe : autre démonstration de l'inégalité de Minkowski avec la convexité des fonctions positivement homogènes |
235 Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients continus
1. Existence de solutions
1.1. Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire d'ordre 2
1.2. Espace vectoriel S0(I)
1.3. Conséquence : système fondamental de solutions
1.4. Espace affine S(I)
1.5. Conséquence : obtention de la solution générale de (E)
2. Wronskien
2.1. Définition
2.2. Propriétés
2.3. Cas des coefficients constants dans (E0)
3. Résolution de (E0)
3.1. Recherche d'une solution développable en série entière
3.2. Méthode de Lagrange
3.3. Équation d'Euler
4. Résolution de (E)
4.1. Méthode de variation des constantes
4.2. Équations à coefficients constants et second membre particulier
4.2.1. Second membre polynomial
4.2.2. Second membre "exponentielle-polynôme"
4.2.3. Principe de superposition
5. Appendices
5.1. À propos des conditions de Cauchy
5.2. Lemme de Gronwall. Application
5.3. Énoncé et démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire d'ordre 1 |
242 Suites de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli. Loi binomiale
1. Suites de variables aléatoires indépendantes
1.1. Définition : indépendance de n variables aléatoires
1.2. Cas particulier : indépendance de deux variables aléatoire
1.3. Remarque : l'indépendance dépend de la probabilité choisie
1.4. Exercice : X et Y indépendantes et ¦ bijective Þ ¦ o X et Y indépendantes
1.5. Proposition : espérance d'un produit et variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes
2. Variables aléatoires de Bernoulli
2.1. Définition : variable aléatoire de Bernoulli
2.2. Remarque sur le paramètre
2.3. Exercice : si X est de Bernoulli de paramètre p alors X2 l'est aussi.
2.4. Espérance et variance de la loi de Bernoulli
2.5. Théorème de Bernoulli
3. Variable aléatoire de loi binomiale
3.1. Définition de la loi binomiale (comme somme de variables de Bernoulli)
3.2. Théorème : formule de loi binomiale
3.3. Proposition : espérance et variance de la loi binomiale
3.4. Théorème : stabilité de la loi binomiale
4. Exemples
4.1. Cas de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes
4.2. Cas de variables aléatoires de Bernoulli non indépendantes |
243 Probabilité conditionnelle et indépendance
1. Rappel : espace probabilisé
1.1. Univers
1.2. Tribu
1.3. Probabilité
2. Probabilité conditionnelle
2.1. Théorème : construction d'un nouvelle probabilité relativement à un événement donné
2.2. Définition : probabilité conditionnelle
2.3. Définition : système complet d'événements
2.4. Théorème des probabilités totales
2.5. Corollaire : formule de Bayes
3. Indépendance d'événements
3.1. Théorème : trois assertions équivalentes
3.2. Définition : p-indépendance
3.3. Propriétés des événements indépendants | | |
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